Table Z : la table de la loi normale centrée réduite

La table cumulative Φ(z) complète — générée avec R, exacte à quatre décimales — plus les valeurs critiques de z et la ligne qui calcule n’importe quelle probabilité

La table z complète (table de la loi normale centrée réduite) : la probabilité cumulée Φ(z) pour chaque score z, générée avec la fonction pnorm() de R — chaque case est donc exacte. Apprenez à la lire, à gérer les scores z positifs et négatifs, à trouver la valeur critique de z pour n’importe quel niveau de confiance, et à calculer toute probabilité avec pnorm() / qnorm().

AstuceCe que vous trouverez ici

• La table z complète — la probabilité cumulée Φ(z) = P(Z ≤ z) pour chaque score z, générée avec R pour que chaque case soit exacte.
• Comment la lire — y compris les scores z positifs et négatifs (une seule table les couvre, par symétrie).
• Les valeurs critiques de z pour les niveaux de confiance usuels (1.645, 1.960, 2.576 …).
• La ligne de R — pnorm() / qnorm() — qui donne n’importe quelle probabilité ou score z, y compris ceux qui ne figurent pas dans la table.

Quand avez-vous besoin de la table z ?

Vous utilisez un score z quand votre statistique suit la loi normale centrée réduite — un test z ou un test de proportions, une approximation en grand échantillon, ou simplement la standardisation d’une valeur pour voir de combien d’écarts-types elle s’éloigne de la moyenne. Contrairement à la table de Student, la loi normale n’a pas de degrés de liberté — il y a une seule courbe, donc une seule table.

La table z classique donne la probabilité cumulée : l’aire sous la courbe à gauche d’un score z, Φ(z) = P(Z ≤ z). L’image, c’est cette aire ombrée.

Comment lire la table z

La table décompose un score z en sa ligne (les unités et la première décimale, par exemple 1.9) et sa colonne (la seconde décimale, par exemple 0.06). La case est Φ(z) — la probabilité d’une valeur inférieure ou égale à ce z.

Exemple concret. Pour z = 1.96, lisez la ligne 1.9, colonne 0.06 → 0.9750. Donc P(Z ≤ 1.96) = 0.975 — 97.5 % de la distribution est en dessous de 1.96, et (par symétrie) l’aire entre −1.96 et +1.96 vaut 0.95, la base de l’intervalle de confiance à 95 %.

La table z (Φ(z) cumulée)

Chaque valeur est pnorm(z) — la probabilité cumulée exacte — il n’y a donc ni erreur d’arrondi ni erreur de transcription. Les lignes sont z à une décimale ; les colonnes ajoutent la seconde décimale.

Cumulative standard normal probability Φ(z) = P(Z ≤ z). Row = z to one decimal; column = the second decimal.

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3.0	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990
3.1	0.9990	0.9991	0.9991	0.9991	0.9992	0.9992	0.9992	0.9992	0.9993	0.9993
3.2	0.9993	0.9993	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9995	0.9995	0.9995
3.3	0.9995	0.9995	0.9995	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9997
3.4	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9998

NoteReproduire ou prolonger cette table

Chaque case provient d’une seule fonction — copiez-la et exécutez-la pour les reproduire, ou changez l’argument pour un z absent de la table.

# cumulative probability to the left of z = 1.96
pnorm(1.96)
#> 0.9750021

Scores z positifs et négatifs

La table liste les z positifs. Pour un z négatif, utilisez la symétrie de la loi — l’aire à gauche de −z vaut un moins l’aire à gauche de +z :

\[\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\]

pnorm(-1.96)        # left of -1.96

[1] 0.0249979

1 - pnorm(1.96)     # same thing, from the positive table

[1] 0.0249979

Donc P(Z ≤ −1.96) = 0.025 : lisez 0.9750 pour +1.96, puis soustrayez de 1.

Valeurs critiques de z

Pour un intervalle de confiance ou un test z, vous voulez la valeur critique de z — le seuil pour un niveau de confiance donné (bilatéral) ou un seuil de signification. Elles proviennent de qnorm() :

Critical z-values: the two-sided cutoff for common confidence levels (and the matching one- and two-tailed α).

Confidence	Two-tailed α	One-tailed α	Critical z
80%	0.2	0.1	1.282
90%	0.1	0.05	1.645
95%	0.05	0.025	1.960
98%	0.02	0.01	2.326
99%	0.01	0.005	2.576
99.9%	0.001	0.0005	3.291

Ainsi, un intervalle de confiance à 95 % utilise 1.960 ; un test unilatéral à α = 0.05 utilise 1.645. Pour rappel, ce sont exactement les valeurs de la dernière ligne (∞) de la table de Student — la loi de Student converge vers la loi normale à mesure que l’échantillon grandit.

Calculer n’importe quelle valeur

La table sert à consulter des valeurs ; R, lui, n’a pas cette limite. Pour n’importe quelle probabilité ou score z :

pnorm(2.33)              # area to the left of 2.33

[1] 0.9900969

qnorm(0.90)              # the z-score with 90% of the area below it

[1] 1.281552

qnorm(0.975)             # the 95% two-sided critical z

[1] 1.959964

De la table au test

• Les tests z de proportions en R — les tests z à une et deux proportions de bout en bout, avec la statistique de test, la p-value et le compte rendu des résultats.
• Test de normalité en R — vérifiez que le modèle normal s’applique avant de vous y fier.

Références liées : la table de Student (petits échantillons, σ inconnu), ainsi que la table du khi-deux et la table de Fisher. Fait partie de la série tables statistiques de référence.

Foire aux questions

NoteComment lire une table z ?

Décomposez votre score z en la ligne (unités et première décimale, par exemple 1.9) et la colonne (seconde décimale, par exemple 0.06) ; la case est Φ(z) = P(Z ≤ z), l’aire à gauche. Pour z = 1.96, la ligne 1.9 × la colonne 0.06 donne 0.9750 — 97.5 % des valeurs sont en dessous de 1.96.

NoteQuel est le score z pour un niveau de confiance de 95 % ?

Pour un intervalle de confiance bilatéral à 95 %, la valeur critique de z est 1.960 (elle laisse 2.5 % dans chaque queue). Un seuil unilatéral à 95 % vaut 1.645. En R : qnorm(0.975) = 1.96 et qnorm(0.95) = 1.645.

NoteQuelle est la différence entre une table z et une table de Student ?

La table z utilise la loi normale centrée réduite et n’a pas de degrés de liberté — une courbe, une table. La table de Student a une ligne distincte pour chaque valeur des degrés de liberté et des queues plus épaisses ; utilisez t quand l’écart-type de la population est inconnu et estimé à partir d’un petit échantillon. Pour les grands échantillons, les deux coïncident presque.

NoteComment utiliser la table z pour un score z négatif ?

La table liste les z positifs, mais la courbe normale est symétrique, donc Φ(−z) = 1 − Φ(z). Cherchez la valeur positive et soustrayez de 1 : P(Z ≤ −1.96) = 1 − 0.9750 = 0.025.

NoteÀ quel score z correspond une p-value de 0.05 ?

Cela dépend des queues. Une p-value unilatérale de 0.05 correspond à z = 1.645 ; une p-value bilatérale de 0.05 correspond à z = 1.960 (0.025 dans chaque queue). En R : qnorm(0.95) et qnorm(0.975).

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