Table de Student (table de la loi de t)

La table complète des valeurs critiques — générée avec R, exacte jusqu’à la dernière décimale, plus la ligne qui calcule n’importe quelle valeur absente de la table

La table de Student complète : les valeurs critiques de t pour chaque nombre de degrés de liberté et chaque seuil de signification, générées avec la fonction qt() de R — chaque case est donc exacte. Apprenez à la lire, la différence entre test unilatéral et bilatéral, et comment calculer la valeur critique pour n’importe quel ddl ou seuil absent de la table.

AstuceCe que vous trouverez ici

• La table de Student complète — les valeurs critiques de t pour chaque nombre de degrés de liberté (ddl) et chaque seuil de signification, générées avec R pour que chaque case soit exacte (les tables statiques que l’on trouve ailleurs sont truffées d’erreurs d’arrondi et de transcription).
• Comment la lire — les degrés de liberté, le seuil de signification, et un exemple concret.
• Unilatéral vs bilatéral — la source de confusion la plus fréquente : « pourquoi ma valeur ne correspond-elle pas à la table ? ».
• La ligne de R — qt() — qui donne la valeur critique pour n’importe quel ddl ou α, y compris ceux qui ne figurent pas dans cette table.

Quand avez-vous besoin de la table de Student ?

Vous utilisez une valeur de t dès que vous faites de l’inférence sur une moyenne avec un petit échantillon et un écart-type de population inconnu — un test t à un ou deux échantillons, ou un intervalle de confiance pour une moyenne. Dans ce cas, la statistique standardisée ne suit pas la loi normale (z) ; elle suit la loi de Student, dont les queues plus épaisses se rapprochent de la normale à mesure que l’échantillon grandit.

La valeur critique est le seuil que votre statistique de test doit dépasser pour rejeter l’hypothèse nulle (ou le multiplicateur d’un intervalle de confiance). Elle dépend de deux choses :

• les degrés de liberté (ddl) — pour un test t à un échantillon, ddl = n − 1 ;
• le seuil de signification α — le risque de faux positif que vous acceptez (souvent 0.05).

La table ci-dessous donne cette valeur critique pour les combinaisons usuelles. La courbe montre ce qu’elle signifie.

Comment lire la table

Repérez la ligne de vos degrés de liberté et la colonne de votre seuil de signification ; la case est la valeur critique de t.

Exemple concret. Un test t à un échantillon avec n = 11 a ddl = n − 1 = 10. Pour un test bilatéral à α = 0.05, lisez la ligne 10, colonne 0.05 → 2.228. Si votre |t| observé dépasse 2.228, vous rejetez l’hypothèse nulle au seuil de 5 %. (C’est aussi le multiplicateur d’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.)

Les colonnes sont le α bilatéral. Un test bilatéral répartit α entre les deux queues (α/2 dans chacune — c’est l’image ombrée ci-dessus), ce qui est le cas par défaut pour une hypothèse bilatérale ou un intervalle de confiance. Pour un test unilatéral, consultez la section ci-dessous — vous utilisez une autre colonne.

La table de Student

Chaque valeur ci-dessous est calculée avec qt(1 - α/2, ddl) — le quantile exact de la loi de Student — il n’y a donc ni erreur d’arrondi ni erreur de copie. La dernière ligne (∞) est la limite normale : quand ddl grandit, t converge vers z (par exemple 1.960 à α = 0.05).

Critical values of Student’s t-distribution. Columns are the two-tailed significance level α; rows are degrees of freedom.

df / α	0.20	0.10	0.05	0.02	0.01	0.001
1	3.078	6.314	12.706	31.821	63.657	636.619
2	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	31.599
3	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	12.924
4	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	8.610
5	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	6.869
6	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	5.959
7	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	5.408
8	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	5.041
9	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	4.781
10	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	4.587
11	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	4.437
12	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	4.318
13	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	4.221
14	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	4.140
15	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	4.073
16	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	4.015
17	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.965
18	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.922
19	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.883
20	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.850
21	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.819
22	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.792
23	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.768
24	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.745
25	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.725
26	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.707
27	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.690
28	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.674
29	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.659
30	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.646
40	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	3.551
60	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	3.460
80	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	3.416
100	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	3.390
120	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	3.373
∞	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	3.291

NoteReproduire ou prolonger cette table

Chaque case ci-dessus provient d’une seule fonction — copiez-la et exécutez-la pour les reproduire, ou changez les arguments pour obtenir une valeur absente de la table. Il n’y a rien à croire sur parole et rien à recopier.

# critical t for a two-tailed test (or a two-sided CI): df = 10, alpha = 0.05
qt(1 - 0.05 / 2, 10)
#> 2.228139

Unilatéral vs bilatéral

C’est ici que naissent la plupart des écarts par rapport à une table imprimée. Les colonnes ci-dessus sont le α bilatéral (α réparti en α/2 dans chaque queue). Pour un test unilatéral, vous placez tout α dans une seule queue, donc :

• Bilatéral à α → utilisez la colonne α.
• Unilatéral à α → utilisez la colonne 2α (ou, de façon équivalente, calculez qt(1 - α, ddl)).

Ainsi, un test unilatéral à α = 0.05 utilise la colonne 0.10 (ligne ddl), et non la colonne 0.05. L’image : au lieu de deux queues ombrées de α/2, vous ombrez une seule queue de α.

one_tailed <- qt(1 - 0.05, 10)      # one-tailed, alpha = 0.05, df = 10
two_tailed <- qt(1 - 0.05 / 2, 10)  # two-tailed, alpha = 0.05, df = 10
c(one_tailed = one_tailed, two_tailed = two_tailed)

one_tailed two_tailed 
  1.812461   2.228139 

La valeur unilatérale à 0.05 (1.812) est égale à la colonne 0.10 bilatérale — le même nombre, ce qui explique précisément pourquoi la colonne que vous choisissez compte plus que n’importe quelle décimale de la table.

Calculer n’importe quelle valeur absente de la table

La table s’arrête à quelques valeurs de ddl et de α ; pas R. Pour n’importe quels degrés de liberté et n’importe quel seuil de signification, la valeur critique est à un appel de fonction :

# two-tailed critical t for df = 250 at alpha = 0.01 (not in the table)
qt(1 - 0.01 / 2, 250)

[1] 2.595638

# the multiplier for a 90% confidence interval with df = 17
qt(1 - 0.10 / 2, 17)

[1] 1.739607

C’est tout l’intérêt d’utiliser R pour une table : elle est exacte, elle n’est jamais à court de lignes, et vous pouvez coller le nombre directement dans votre rapport.

De la table au test

La table vous donne le seuil ; exécuter le test vous donne la statistique, la p-value, la taille d’effet et une phrase prête à coller dans votre rapport. Faites l’analyse, ne vous contentez pas de chercher un nombre :

• Comment faire un t-test en R — les tests t à un échantillon, indépendant et apparié de bout en bout, avec les hypothèses et le rapport.
• La taille d’effet d de Cohen — parce qu’un t significatif a encore besoin d’une taille d’effet pour avoir du sens.
• Le test de Wilcoxon en R — l’alternative fondée sur les rangs quand l’hypothèse de normalité n’est pas vérifiée.

Références liées : la table z, la table du khi-deux et la table de Fisher complètent l’ensemble pour les grands échantillons, les données catégorielles et les rapports de variances. Fait partie de la série tables statistiques de référence.

Foire aux questions

NoteComment lire une table de Student ?

Repérez la ligne de vos degrés de liberté (ddl = n − 1 pour un test à un échantillon) et la colonne de votre seuil de signification α ; la case à leur intersection est la valeur critique de t. Par exemple, ddl = 10 à un α bilatéral de 0.05 donne 2.228 — si votre |t| observé est plus grand, le résultat est significatif au seuil de 5 %.

NoteQuelle est la valeur critique de t pour un intervalle de confiance à 95 % ?

Un intervalle de confiance à 95 % utilise la colonne α bilatéral de 0.05 ; le multiplicateur est donc la valeur de t de cette colonne pour vos degrés de liberté — par exemple 2.228 à ddl = 10, 2.042 à ddl = 30. À mesure que l’échantillon grandit, elle tend vers 1.96, la valeur de la loi normale.

NoteQuelle est la différence entre la table de Student et la table z ?

La table z utilise la loi normale centrée réduite et ne dépend pas de la taille d’échantillon ; la table de Student utilise la loi de Student, dont les queues sont plus épaisses et qui a une ligne distincte pour chaque nombre de degrés de liberté. Utilisez t quand l’écart-type de la population est inconnu et estimé à partir d’un petit échantillon. Quand ddl → ∞, les deux coïncident — la dernière ligne de cette table (∞) est exactement la valeur de z.

NoteQuand utiliser la colonne unilatérale plutôt que bilatérale ?

Un test bilatéral ou un intervalle de confiance répartit α entre les deux queues : utilisez donc directement la colonne α. Un test unilatéral (directionnel) place tout α dans une seule queue : utilisez la colonne 2α — un test unilatéral à α = 0.05 lit la colonne 0.10. De façon équivalente, calculez qt(1 - α, ddl).

NoteQuelle est la valeur de t pour un nombre infini de degrés de liberté ?

À ddl = ∞, la loi de Student est égale à la loi normale centrée réduite : les valeurs critiques sont donc les valeurs de z : 1.960 à un α bilatéral de 0.05, 2.576 à α = 0.01. En pratique, t est déjà à environ 1 % de z dès que ddl dépasse ~100.

Cette page vous a-t-elle été utile ?

Recevez les nouvelles leçons R & Python par e-mail

Pratique, reproductible, sans spam. Désinscription à tout moment.

Double opt-in. Nous ne partageons jamais votre e-mail.

Partager cette pageXLinkedInRedditHN